思考の社会学 ~心理学革命~

人それぞれ、様々な個性的思考のもと、論議し生活している。我々は人々に影響を与え、影響を受け、時代が変わってきた。 そんな様々な思考が交錯することで生じる時代変化など、心理学的にまた社会学的に考察する。

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【算数ごっこ】三平方の奇遇定理




a^2+b^2=c^2

【命題】三平方の自然数定理 c>a、c>b において、cが偶数の場合、aとbは偶数である。


自然数の二乗は奇数を奇数、偶数を偶数とするため、a,b,cの三つの中で奇数となる個数は、0個か2個の偶数個であり、1個と3個の奇数個の場合は矛盾する。するとcが偶数の場合、aとbは共に偶数か、共に奇数である。

そこでaとbが共に異なる奇数の場合を考えますと、奇数の二乗は、1,9,25,49,81,121,169………であり、その差は8,16,24,32,40,48………であるため、aの二乗とbの二乗の差は8の倍数である。

ゆえにb^2=a^2+8mとおくと、a^2+b^2=2・a^2+8mで、c=√2√(a^2+4m)。しかし(a^2+4m)は奇数と偶数の和で奇数となるので、前方√2と掛けあわさって自然数2になりえないため矛盾する。

よってcが偶数の場合、aとbが共に奇数とはなりえず、a,b,cは三つ揃って偶数である。



【命題】三平方の自然数定理が成立するa,b,cが三つとも偶数の場合、それぞれ三つの最大公約数で割ったa',b',c'とすると、a'とb'のどちらかが奇数で、かつc'は奇数になるまでさかのぼれる。またa',b',c'の間で三平方の自然数定理が成り立つ。


a,b,cが三つとも偶数の時、(2a')^2+(2b')^2=(2c')^2 より 4・(a'^2+b'^2)=4・(c'^2) と変形できるため、 a'^2+b'^2=c'^2 も成り立ち、かつc'が奇数になるまでさかのぼれる。

また奇数の公約数nを有する場合も同様、(na')^2+(nb')^2=(nc')^2 より n^2・(a'^2+b'^2)=n^2・(c'^2) と変形でき、a'^2+b'^2=c'^2 が成り立ち、公約数がなくなるまでさかのぼれる。



【命題】三平方の自然数定理が成り立っているa,b,cにおいて、cが奇数の場合、a,bのどちらか偶数側は4の倍数である。


奇数c=2z+1、奇数2x+1、偶数2yとおくと

(2x+1)^2+(2y)^2=(2z+1)^2

4x^2+4x+1+4y^2=4z^2+4z+1

x(x+1)+y^2=z(z+1)


x(x+1)とz(z+1)が偶数であるから、y^2 も偶数。よってcが奇数の時のa,bどちらか偶数側は4の倍数でもある。


三平方の奇遇(奇偶)定理

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  1. 2013/09/16(月) 21:12:18|
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